测度论

1.1.1.A. 定义. 令

X

是一个集合. 一个 $X$ 的子集的 $σ$ -代数 (有时也被称为 $σ$ -域) 是一个

X

的子集的族

Σ

, 满足

$\emptyset \in Σ$ ;
对于每个 $E \in Σ$ , 其于 $X$ 中的补 $X \ E$ 属于 $Σ$ ;
对于 $Σ$ 中的每个序列 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ , 其并 $⋃_{n \in ℕ} E_{n}$ 属于 $Σ$ .

1.1.1.B. 评注.

几乎所有数学主题的学习都是从定义开始的. 在这个阶段, 没有替代死记硬背的学习方法. 这些定义包裹了诸多人物数年 (有时甚至是数个世纪) 的巧思, 你不能期望它们总是可以与你熟悉的想法对应起来.
然而, 你永远应该立即去寻求使新的定义变得更加具体的方法, 一般是藉由你已有的数学经验寻找例子. 在这里 $σ$ -代数的情况下, 以下所要描述的真正的例子本质上来说是全新的——也就是说, 你需要从根本上阅读本章. 然而, 你应该立即能够想到两个例子, 而之后你应该将这两个例子铭记在心:
1. 对于任意的 $X$ , $Σ = {\emptyset, X}$ 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数.
2. 对于任意的 $X$ , $P X$ , 即 $X$ 的所有子集构成的集合, 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数.
这些当然是X的子集的σ-代数中最小的和最大的. 而且, 尽管我们不会在这两个例子身上花多少时间, 实际上它们仍然是重要的.
术语可测空间经常用来指代一个序对 $(X, Σ)$ , 其中 $X$ 是一个集合而 $Σ$ 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数. 然而, 就我个人而言, 除非时间紧迫, 否则我将避免使用这个术语, 因为实际上这种对象的许多最有趣的例子并无有用的测度与之关联.

1.1.1.C. 无穷并和交. 如果你还没有见过无穷并, 那么值得驻足观察一下式子

⋃_{n \in ℕ} E_{n}

. 这是属于集合

E_{n}

中的一个或多个的点构成的集合; 我们可以将其写为

\begin{array}{rcl} ⋃_{n \in ℕ} E_{n} & = & {x | \exists n \in ℕ, x \in E_{n}} \\ = & E_{0} \cup E_{1} \cup E_{2} \cup \dots \end{array}

(我以

ℕ

代表自然数集

{0, 1, 2, 3, \dots}

.) 以相同的方式, 记

\begin{array}{rcl} ⋂_{n \in ℕ} E_{n} & = & {x | x \in E_{n}, \forall n \in ℕ} \\ = & E_{0} \cap E_{1} \cap E_{2} \cap \dots \end{array}

测度空间的基本理论的一个特征在于, 与你之前的经验相比, 它可能需要更多地利用集合操作

\cup

\cap

\

(集合差:

E \ F = {x | x \in E, x \notin F}

Δ

(对称差:

E Δ F = (E \ F) \cup (F \ E) = (E \cup F) \ (E \cap F)

), 并带有无穷并和交所增添的复杂. 我强烈建议在某个时间点花些时间做一做1.1.1.X的练习a.

1.1.1.D. σ-代数的基本性质. 如果

Σ

是

X

的子集的一个

σ

-代数, 那么其具有以下性质.

对于任意的 $E, F \in Σ$ , $E \cup F \in Σ$ . $P$ 因为如果 $E, F \in Σ$ , 置 $E_{0} = E$ , 而 $n \geq 1$ 时 $E_{n} = F$ , 那么 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个序列, 而 $E \cup F = ⋃_{n \in ℕ} E_{n} \in Σ$ . $Q$
对于任意的 $E, F \in Σ$ , $E \cap F \in Σ$ . $P$ 根据1.1.1.A的定义之ii, $X \ E \in Σ$ 且 $X \ F \in Σ$ ; 根据本条目之a, $(X \ E) \cup (X \ F) \in Σ$ ; 再次根据1.1.1.A之ii, $X \ ((X \ E) \cup (X \ F)) \in Σ$ ; 但这就是 $E \cap F \in Σ$ . $Q$
对于任意的 $E, F \in Σ$ , $E \ F \in Σ$ . $P$ $E \ F = E \cap (X \ F) \in Σ$ . $Q$
现在设 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个序列, 并考虑 $\begin{array}{rcl} ⋂_{n \in ℕ} E_{n} & = & {x | x \in E_{n}, \forall n \in ℕ} \\ = & E_{0} \cap E_{1} \cap E_{2} \cap \dots \\ = & X \ ⋃_{n \in ℕ} (X \ E_{n}) \end{array}$ 其也属于 $Σ$ .

1.1.1.E. 更多关于无穷并和交的讨论.

到目前为止, 我们只在由自然数集 $ℕ$ 索引的序列 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 的上下文中考虑了无穷并和交. 在前方的内容中, 诸多其他的形式也会以或多或少自然的方式出现. 例如, 可以考虑具有以下形式的集合 $⋃_{n \geq 4} E_{n} = E_{4} \cup E_{5} \cup E_{6} \cup \dots$ $⋃_{n \in ℤ} E_{n} = {x | \exists n \in ℤ, x \in E_{n}} = \dots \cup E_{- 2} \cup E_{- 1} \cup E_{0} \cup E_{1} \cup E_{2} \cup \dots$ $⋃_{q \in ℚ} E_{q} = {x | \exists q \in ℚ, x \in E_{q}}$ 其中我以 $ℤ$ 代表由所有整数构成的集合, $ℚ$ 代表由所有有理数构成的集合. 如果每个 $E_{n}, E_{q}$ 属于一个 $σ$ -代数 $Σ$ , 那么这些并也属于. 另一方面, 以下情形 $⋃_{t \in [0, 1]} E_{t} = {x | \exists t \in [0, 1], x \in E_{t}}$ 在一个 $σ$ -代数包含每个 $E_{t}$ 的情况下却可能并不属于该 $σ$ -代数. 读者有必要对于特定的指标集建立直觉, 例如 $ℕ, ℤ, ℚ$ , 其在 $σ$ -代数的上下文中是安全的, 也要记得那些并不安全的例子.
我希望你已经见过Cantor关于无限集合的理论了, 那么以下内容不过是对于熟悉材料的重述; 但如果没有,

1.1.1.G. Borel集合. 这里我可以描述一类非平凡的

σ

-代数; 其构造是抽象的, 但是这样的技术是重要的, 并且这个术语也是测度论的基本词汇的一部分.

令 $X$ 是一个集合, 令 $S$ 是任意的 $X$ 的子集的 $σ$ -代数的非空的族. (因此, $S$ 的每个成员本身就是一个集合的族; $S \subseteq P (P X)$ .) 那么 $⋂ S = {E | E \in Σ, \forall Σ \in S}$ 即所有属于 $S$ 的 $σ$ -代数之交, 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数. $P$

第1.1.2节测度空间

我希望我们已经准备好迎来第二个定义了, 这个定义是此专著所有工作之基础.

1.1.2.A. 定义. 一个测度空间是一个三元组

(X, Σ, μ)

, 其中

$X$ 是一个集合;
$Σ$ 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数;
μ:Σ→[0,∞]是一个函数, 满足
1. $μ \emptyset = 0$ ;
2. 如果 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个互不相交 (disjoint) 的序列, 那么 $μ (⋃_{n \in ℕ} E_{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} μ E_{n}$ .

在此上下文之中,

Σ

的成员被称为可测集合, 而

μ

被称为 $X$ 上的一个测度.

1.1.2.B. 评注.

1.1.2.C. 测度空间的基本性质. 令

(X, Σ, μ)

是一个测度空间.

如果 $E, F \in Σ$ 且 $E \cap F = \emptyset$ , 那么 $μ (E \cup F) = μ E + μ F$ .
如果 $E, F \in Σ$ 且 $E \subseteq F$ , 那么 $μ E \leq μ F$ .
对于任意的 $E, F \in Σ$ , $μ (E \cup F) \leq μ E + μ F$ .
如果 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中任意的序列, 那么 $μ (⋃_{n \in ℕ} E_{n}) \leq \sum_{n = 0}^{\infty} μ E_{n}$ .
如果 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个非降序列 (也就是说, 对于每个 $n \in ℕ$ , $E_{n} \subseteq E_{n + 1}$ ), 那么 $μ (⋃_{n \in ℕ} E_{n}) = lim_{n \to \infty} μ E_{n} = \sup_{n \in ℕ} μ E_{n} .$
如果 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个非升序列 (也就是说, 对于每个 $n \in ℕ$ , $E_{n + 1} \subseteq E_{n}$ ), 并且某个 $μ E_{n}$ 是有限的, 那么 $μ (⋂_{n \in ℕ} E_{n}) = lim_{n \to \infty} μ E_{n} = \inf_{n \in ℕ} μ E_{n} .$

第1.1.3节外测度和Carathéodory构造

1.1.3.A. 定义. 现在我们来到本章的第三个基本定义.
令

X

是一个集合.

X

上的一个外测度是一个函数

θ : P X \to [0, \infty]

, 满足

$θ \emptyset = 0$ ;
如果 $A \subseteq B \subseteq X$ , 那么 $θ A \leq θ B$ ;
对于 $X$ 的子集的每个序列 ${⟨ A_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ , $θ (⋃_{n \in ℕ} A_{n}) \leq \sum_{n = 0}^{\infty} θ A_{n}$ .

第1卷不可归约的最小

第1.1章测度空间

第1.1.1节 $σ$ -代数

第1.1.2节测度空间

第1.1.3节外测度和Carathéodory构造

第2卷广阔的基础

第3卷测度代数

第4卷拓扑测度空间

第5卷集合论式测度论

第6卷随机分析

第1卷 不可归约的最小

第1.1章 测度空间

第1.1.1节 σ-代数

第1.1.2节 测度空间

第1.1.3节 外测度和Carathéodory构造

第2卷 广阔的基础

第3卷 测度代数

第4卷 拓扑测度空间

第5卷 集合论式测度论

第6卷 随机分析

第1卷不可归约的最小

第1.1章测度空间

第1.1.1节 $σ$ -代数

第1.1.2节测度空间

第1.1.3节外测度和Carathéodory构造

第2卷广阔的基础

第3卷测度代数

第4卷拓扑测度空间

第5卷集合论式测度论

第6卷随机分析